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수학의 영역중해석학 - 해석학 (Analysis)의 의미 및 연구 분야

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작성일18-09-28 10:06

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수학의 영역중해석학 - 해석학 (Analysis)의 의미 및 연구 분야



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설명

해석학 (Analysis)의 의미 및 연구 분야

1. 들어가며

자연현상을 설명(說明)하는 가장 좋은 도구로 인정받고 있는 미분과 적분의 개념(槪念)을 엄밀하게 규명하고, 이를 이용하여 다양한 함수들의 성질을 연구하는 것이, 해석학이다. 다루는 함수의 종류에 따라서, 실 및 복소해석학, 함수해석학, 비선형해석학 등으로 구분될 수 있고, 이는 여러 가지 미분방정식이나 적분방정식을 푸는 데에 직접적으로 응용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.

2. 복소해석학 (Complex Analysis)

대수학의 기본정리라 불리우는 유명한 가우스의 정리는 복소계수를 갖는 다항식 방정식은 반드시 복소수의 근을 가진다는 것이다. 이런 의미에서 복소수 체는 수개념(槪念)의 확장, 즉 대수방정식의 해가 가능하도록 수의 체계를 확장해 나가는 과정의 완성이라 할 수 있다. 함수의 變化(변화)를 정량적으로 다루는 해석학에서는 무한급수의 수렴성, 함수의 영집합 등을 기술하는 일은 복소변수를 사용할 때 가장 자연스럽고 간결하게 기술된다는 사실이 18세기 말경부터 점차 인식되었다.

해석함수론은 19세기에코시, 바이어스트라스, 리만 등에 의해 theory(이론)이 정립되었는데, 이는 코시적분정리 위에 논리정연한 하나의 체계로 구축되어 있어 수학theory(이론)의 가장아름다운 전형으로 꼽히고 있다. 오늘날 해석함수론은 수론, 대수기하학, 미분기하학, 편미분 방정식과 밀접한 관련이 있고, 공학을 비롯한 여러 응용과학분야에도 필수적인 도구로 사용되고 있다. 본 학과에서는 주로 다변수 복소해석학과 복소 다양체의 해석학을 연구하고 있다.

세부적으로는 복소곡선의 특이점 연구, 리만곡면상의 보형함수에 대한 연구, 코시-리만 다양체와 접코시-리만 방정식의 연구 등을 수행하고 있다. 상기 분야들은 근래 세계적으로활발히 연구되고 있는 복소해석학의 중심분야들이다. 20세기의 복소해석학은 주로 다변수 해석함수론을 중심으로 발달하였다. 특히 전자기에 관한 맥스웰방정식이 미분형식을 빌어 간단히 표현되고 그 해가 복소사영 공간의 선…(省略) 적분으로 표현된다는 사실이 로빈슨, 펜로즈 등에 의해 밝혀진 1970년대 이후에는 다변수복소해석학과 복소다양체 위의 해석학이 현대 theory(이론) 물리학의 중요한 표현수단이 되고 있다.

3. 함수해석학 (Functional Analysis)

함수 혹은 작용소를 모아 놓은 공간의 대수 및 위상구조를 연구함으로써, 미분방정식 등 해석학 본래의 문제에 접근하는 것이 함수해석학이다. 이를테면 여러가지 미분방정식의 해를 찾기 위하여 연속함수공간이나 적분가능함수공간을 확장하여 일반화된 함수공간이나 초함수공간을 연구한다. 한편, 행렬공간의 무한차원확장으로 이해할 수 있는 작용소대수의 特性은 가환법칙이 성립하지 않는다는 것인데, 이와 관련된 비가환역학계 및 비가환미분기하 등이 연구되고 있으며 이는 현대물리를 이해하는 중요한 도구가 되고 있다.

4. 비선형해석학 (Nonlinear Analysis)

부동점정리, 단조 및 증대작용소, 비선형반군, 여러가지 미분가능성, 변분원리, 국소볼록 공간에서의 해석학 및 일반볼록해석학, 무한차원 다양체theory(이론), 분포theory(이론), 볼록최적화theory(이론) 등과 이들 theory(이론)의 편미분 방정식에의 응용을 연구한다.

5. 편미분방정식 (Partial Differential Equation)

크게 선형편미분방정식과 비선형편미분방정식으로 나뉜다. 선형편미분방정식 분야에서는 초함수론, 푸리에적분작용소, 미국소해석학, 의미분작용소 및 선형편미분 방정식의 일반theory(이론)을 연구한다. 비선형편미분방정식 분야에서는 역학이나 물리학의 여러분야에서 모형화된 비선형편미분방정식들, 예를 들면 나비어-스톡스방정식, 오일러방정식, 긴즈버그-란다우 방정식, 게이지장 방정식 등의 코시문제, 경계치문제들에 관련되어 해의 존재성, 정칙성, 유일성, 점근적 행태 및 기타해석학적 문제들을 연구하고 있다.




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