[工學]수치해석 보고서 - 가우스 구적법(Gauss Quadrature)
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작성일 19-03-22 11:08
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a〓0 , b〓1
step 2 적분 범위-1,1로 변환하기위해 에 대입시킨다. 이렇게 하기 위해서 …(skip) a〓0과 b〓1을
에 대입 시키면 다음과 같다
이 관계식의 도함수는 다음과 같다.
또한 적분 값을 계산하면 다음과 같다.
이 유도방법을 설명(說明)하기 위해서 다음과 같이 표현된다
여기서 은 상수다.
그림 1 (a),(b)
- Method of Undetermined Coefficients (미정계수법)
미정계수법은 Gauss구적법을 유도하는 데 유용성을 갖는 세 번째 접근방법을 제공
해 준다.
다음의 결과를 계산해내기 위해서 위의 두 식을 원래의 식에 대입한다.
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설명
수치해석 보고서 - 가우스 구적법(Gauss Quadrature)
목 차
1.Gauss Quadrature (가우스 구적법)
2. 理論(이론)해 계산
3. program 알고리즘
4. program 리스트
5. 수치 적분 결과
6. 理論(이론) 해와 결과 비교 및 分析(분석) 고찰
1.Gauss Quadrature (가우스 구적법)
우리는 곡선 상에 있는 어떤 두 점을 연결하는 직선 아래의 면적을 계산할 수 있따 이들 점을 적절하게 위치시킴으로써 우리는 양의 오차와 음의 오차가 균형을 이룰 수 있도록 직선을 definition 할 수 있을 것이다(그림 (a)에서 (b)로의 전환). Gauss구적법은 이러한 전략(戰略) 을 구현한 기법 중 하나이다.
〓
그러므로 우변은 Gauss구적법을 사용해서 계산하기에 적합한 형태가 된다
3. program 알고리즘
step 1 적분 구간을 찾는다. 이 경우를 나타내는 두 개의 방정식 y 〓 1 과 y 〓 x같은 형식이다.
step 6 을 구한다.
step 5 이렇게 나온 x값을 원식 ()
에 넣는다.
오차를 구하기가 까다롭지만, 주어진 식을 적분 구간 에 맞는 식으로 변환만 하면 쉽게 아주 정확한 값을 찾을 수 있따 그러나 매우 큰 값의 포인트를 쓰면, Round off error가 답의 정확성에 심각한 오차를 초래할 수 있기 때문이다 따라서 Gauss Quadrature 로 구한 값을 무조건 신뢰하는 것은 피해야 한다.
위에 있는 두 방정식은 두 미지수 을 가지며 이것을 풀면 다음과 같다
이것을 에 역으로 대입하면 다음과 같다
위의 식은 사다리꼴 적분 公式 과 같다
2. 理論(이론)해 계산
`가우스 구적법`
함수를 적분하기 전에 우리는 적부구간의 양끝점이 -1에서 1이 되도록 변수를 變化시켜야한다.
step 3 몇 포인트로 계산 할 것인가를 선정한다. (n〓2,3,4,5,6)
step 4 포인트에 맞는 weighting factor와 function arguments 를 찾는다.
`플로우차트`
4. program 리스트
%n〓2
clear all
format long
func〓`0.2+25x-200x^2+675x^3-900x^4+400x^5`
a〓0; b〓1;
xi1〓0.577350269; xi2〓-0.577350269;
c1 〓 1.0; c2〓1.0;
x1〓(b+a)/2+(b-a)/2xi1; x〓x1; f1〓eval(func);
x2〓(b+a)/2+(b-a)/2xi2; x〓x2; f2〓eval(func);
root〓(b-a)/2(c1f1+c2f2);
disp(sprintf(`when n〓2, 0`x`1 , the root is 〓 %20.15f`,root))
%n〓3
clear all
format long
func〓`0.2+25x-200x^2+675x^3-900x^4+400x^5`
a〓0; b〓1;
xi1〓0; xi2〓0.774596669; xi3〓-0.774596669;
c1〓0.8888889; c2〓0.5555556; c3〓0.5555556;
x1〓(b+a)/2+(b-a)/2xi1; x〓x1; f1〓eval(func);
x2〓(b+a)/2+(b-a)/2xi2; x〓x2; f2〓eval(func);
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